[2015년 백신고]

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[2학년 2학기 기말 미적분2]

[eqn: lim _{x-> 2} {{f(x)-1} over {x-2} =- {1} over {3}}]을 만족하는 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]가 역함수 [eqn: g(x)]를 가질 때, [eqn: g`'`(1)]의 값은? [3.8점]

①

① [eqn: -3]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 5]

곡선 [eqn: y=e ^{tanx}] 위의 점 [eqn: LEFT ( {pi } over {4} ,```e RIGHT )]에서의 접선의 기울기는? [3.4점]

②

① [eqn: e]	② [eqn: 2e]	③ [eqn: 3e]

④ [eqn: 4e]	⑤ [eqn: 5e]

함수 [eqn: f(x)= {lnx} over {x ^{2}}]가 최댓값을 가질 때의 [eqn: x]의 값은? [3.7점]

①

① [eqn: sqrt {e}]	② [eqn: e]	③ [eqn: 2 sqrt {e}]

④ [eqn: 2e]	⑤ [eqn: 4e]

아래의 그림과 같이 가장자리가 곡선 [eqn: y=ln(2x-1)-3]과 직선 [eqn: y=2x+5]인 두 지역 [eqn: rmA], [eqn: rmB] 사이에 강이 지나고 있다. 이 강에 다리를 놓아 두 지역 [eqn: rmA], [eqn: rmB]를 연결하려고 할 때, 다리의 길이의 최솟값은? (단, 다리의 폭은 고려하지 않는다.) [3.8점]

④

① [eqn: sqrt {5}]	② [eqn: sqrt {10}]	③ [eqn: sqrt {15}]

④ [eqn: 2 sqrt {5}]	⑤ [eqn: 5]

함수 [eqn: f(x)=e ^{x} LEFT { x ^{2} +(a+1)x-a RIGHT }]가 극값을 갖지 않도록 하는 정수 [eqn: a]의 개수는? [4.0점]

⑤

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

함수 [eqn: y=f`'(x)]의 그래프가 그림과 같을 때, 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프의 개형으로 적합한 것은? (단, [eqn: f(0)=0]) [4.2점]

⑤

①		②
③		④
⑤

함수 [eqn: f(x)=ex ^{2} -2lnx(x>0)]는 [eqn: x= alpha]에서 극솟값 [eqn: beta]를 갖는다. 이때, [eqn: {beta } over {alpha }]의 값은? [3.7점]

③

① [eqn: sqrt {e}]	② [eqn: e]	③ [eqn: 2 sqrt {e}]

④ [eqn: 2e]	⑤ [eqn: 4e]

함수 [eqn: f(x)=ex ^{x}] 위의 점 [eqn: (x,```ex ^{x} )]에서의 접선의 기울기를 [eqn: g(x)]라 할 때, [eqn: lim _{x-> 1} {{g(x ^{2} )-g(1)} over {x-1}}]의 값은? (단, [eqn: x>0)] [4.4점]

④

① [eqn: e]	② [eqn: 2e]	③ [eqn: 3e]

④ [eqn: 4e]	⑤ [eqn: 5e]

곡선 [eqn: y=x-lnx]와 직선 [eqn: y=n-1]의 교점의 개수를 [eqn: a _{n}]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{10} a _{n}]의 값은? (단, [eqn: n]은 자연수이다.) [3.8점]

③

① [eqn: 15]	② [eqn: 16]	③ [eqn: 17]

④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 19]

미분가능한 함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

함수 [eqn: f(x)]에 대한 설명 중 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? [4.2점]

(가) [eqn: int _{} ^{} {f(x)dx=xf(x)-x ^{2} e ^{-x}}]

(나) [eqn: f(0)=-1]

②

ㄱ. 함수 [eqn: f(x)]는 극솟값 [eqn: {1} over {e ^{2}}]를 갖는다.

ㄴ. 점 [eqn: LEFT ( 3,`` {2} over {e ^{3}} RIGHT )]는 곡선 [eqn: y=f(x)]의 변곡점이다.

ㄷ. 곡선 [eqn: y=f(x)]와 직선 [eqn: y=2]는 서로 다른

두 점에서 만난다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

함수 [eqn: f(x)= int _{} ^{} {{1} over {cosx(sinx+cosx)} dx}]에 대하여 [eqn: f LEFT ( {pi } over {6} RIGHT ) =0]일 때,
[eqn: f LEFT ( {pi } over {3} RIGHT )]의 값은? [4.0점]

④

① [eqn: -ln3]	② [eqn: - {1} over {2} `ln3]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: {1} over {2} `ln3]	⑤ [eqn: ln3]

함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: 3(lnx) ^{2} -xf`'(x)=0], [eqn: f(1)=0]일 때, 방정식 [eqn: f(x)=lnx]를 만족시키는 모든 실수 [eqn: x]의 값의 곱은? [3.9점]

③

① [eqn: {1} over {e ^{2}}]	② [eqn: {1} over {e}]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: e]	⑤ [eqn: e ^{2}]

[eqn: lim _{x-> 0} {{1} over {x} int _{0} ^{x} {(-t ^{3} +sin3t)dt}}]의 값은? [3.9점]

①

① [eqn: 0]	② [eqn: {1} over 2]	③ [eqn: {2} over {3}]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 8over3]

[eqn: int _{0} ^{{pi } over {6}} {cos3x`cosxdx`+ int _{0} ^{{pi } over {6}} {sinx`sin3x`dx}}]의 값은? [3.4점]

②

① [eqn: 1over4]	② [eqn: {sqrt { 3} } over 4]	③ [eqn: {1} over {2]

④ [eqn: { sqrt { 3} } over {2 }]	⑤ [eqn: 1]

함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: f(x)+f(-x)=0]을 만족시킬 때, 정적분의 값이 [eqn: 0]인 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? [3.7점]

①

ㄱ. [eqn: int _{- {pi } over {4}} ^{{pi } over {4}} {f(x)`tan ^{2} x`dx}]

ㄴ. [eqn: int _{- {pi } over {2}} ^{{pi } over {2}} {f(x)`sinx``dx}]

ㄷ. [eqn: int _{-2 pi } ^{2 pi } {cos`f(x)`dx}]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

함수 [eqn: f(x)=e ^{x}]의 역함수 [eqn: g(x)]라 할 때,
[eqn: int _{0} ^{2} {g(x+1)dx+ int _{0} ^{ln3} {f(x)`dx}}]의 값은? [4.0점]

③

① [eqn: ln3]	② [eqn: 2ln3]	③ [eqn: 3ln3]

④ [eqn: 4ln3]	⑤ [eqn: 5ln3]

전라북도 고창에는 그 마을 출신의 시인인 서정주를 기리고, 마을을 아름답게 꾸미기 위해 그림과 같이 벽에 국화 꽃잎을 그려 놓았다. 국화 꽃잎 한 장의 도안 위에 다음과 같이 좌표축을 그려 보았다.

위 그림에서 국화 꽃잎 한 장을 둘러싸고 있는 곡선의 방정식을 구해 보니
[eqn: y=± {1} over {2} x sqrt {{1} over {4} -x} ``` LEFT ( 0 LEQ x LEQ {1} over {4} RIGHT )]
와 같이 나타났다. 페인트 [eqn: rm1L]로 약 [eqn: rm5m^2]를 칠한다고 할 때, 국화 꽃잎 [eqn: 1500]장을 칠하는 데 필요한 페인트의 양은? [4.4점]

②

① [eqn: {5} over {4}rmL]	② [eqn: {5} over {2}rmL]	③ [eqn: {25} over {4}rmL]

④ [eqn: {25} over {2}rmL]	⑤ [eqn: {75} over {4}rmL]

곡선 [eqn: y= {1} over {x} (x>0)]과 두 직선 [eqn: y=3x], [eqn: y= {1} over {2} x]로 둘러싸인 도형의 넓이는? [3.8점]

③

① [eqn: ln sqrt {3}]	② [eqn: ln2]	③ [eqn: ln sqrt {6}]

④ [eqn: ln3]	⑤ [eqn: ln sqrt {12}]

그림과 같이 곡선 [eqn: y=a sqrt {sinx} (0 LEQ x LEQ pi )]와 [eqn: x]축으로 둘러싸인 도형이 밑면이고 [eqn: x]축에 수직인 평면으로 자른 단면이 정삼각형인 입체도형의 부피가 [eqn: {16} over {9} sqrt {3}]일 때, 양수 [eqn: a]의 값은? [3.9점]

②

① [eqn: sqrt {2}]	② [eqn: {4} over {3} sqrt {2}]	③ [eqn: {5} over {3} sqrt {2}]

④ [eqn: 2 sqrt {2}]	⑤ [eqn: {7} over {3} sqrt {2}]

곡선 [eqn: xy=1], [eqn: x]축, 두 직선 [eqn: x=2], [eqn: x=8]로 둘러싸인 부분을 밑면으로 하고, [eqn: x]축에 수직인 평면으로 자른 단면의 모양이 정사각형인 입체의 부피는? [4.0점]

⑤

① [eqn: {1} over {8}]	② [eqn: {3} over {16}]	③ [eqn: {1} over {4}]

④ [eqn: {5} over {16}]	⑤ [eqn: {3} over {8}]

서술형

함수 [eqn: f(x)=axe ^{bx+1}]에 대하여 [eqn: f`'(0)=1], [eqn: f`''(0)=2]일 때, [eqn: f(x)]를 구하고 그 과정을 서술하시오. (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.) [7.0점]

[eqn: {1} over {e} xe ^{x+1}]

원점에서 [eqn: y=e ^{ax}]에 그은 접선과 곡선 [eqn: y=e ^{ax}], 그리고 [eqn: y]축으로 둘러싸인 도형의 넓이가 [eqn: 2]일 때, [eqn: a]의 값을 구하고, 그 과정을 서술하시오. (단, [eqn: a]는 상수이다.)

[eqn: {e-2} over {4}]

[eqn: -2 LEQ x LEQ 3]에서 정의된 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 그림과 같을 때, [eqn: int _{0} ^{3} {e ^{x} ` LEFT | `f(x-1)` RIGHT | `dx}]를 구하고, 그 과정을 서술하시오. [8.0점]

[eqn: e^2 -e-1]

[2015년 백신고]

[2학년 2학기 기말 미적분2]

오타, 오류, 문의사항 : hansungeun@gmail.com